الانهاية في الرياضيات

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

طرح مفهوم اللانهاية إشكالات عديدة من حيث اتساع اللانهاية أو كبرها. كيف يتعامل الرياضيون مع هذا المفهوم؟

يطرح مفهوم اللانهاية بين الرياضين وغير الرياضيين على حد سواء صعوبات كثيرة في التعامل معه. عن اللانهاية العددية يمكن تصورها من خلال المحور العددي. فالأعداد الطبيعية تتوالى على هذا المحور بلا نهاية. لكن الصعوبة في الفهم تبدأ عندما نجد أن هناك لانهايات ضمن لانهايات. فلانهاية الأعداد الفردية فقط من الأعداد الطبيعية لا تقل عن الأعداد الطبيعية نفسها. والأعداد الكسرية لانهاية تغطي كافة أعداد المحور حيث تتقارب الأعداد الكسرية من بعضها بعضاً بشكل لانهائي. لكنها مع ذلك تترك مجالاً للانهاية أوسع منها هي لانهاية الأعداد الحقيقية التي من نمط العدد p. وللعدد p وحده لانهايته إذ يمكن أن توجد كافة المتاليات الممكنة من الأرقام في أعشار العدد p. إن العدد p سيصبح ما يسميه الرياضيون عدداً كونياً، وهم لم يثبتوا ذلك بعد، لكنهم متيقنون منه. ولهذا يجب حساب عدد كاف من هذه الأعشار لرؤية ظهور هذه المتتالية. ونحن لا نعرف حالياً “سوى" 51 مليار من أعشار p. ومع ذلك فإن طريقة جديدة تماماً تسمح بحساب الأرقام المؤلفة لـ p بشكل أسرع بكثير، حيث لا يعتمد الحساب فيها على كافة الأرقام السابقة؛ ومع الأسف فإن صيغة هذه الأعشار البعيدة لا تعطي p إلا في النظام الثنائي وليس في النظام العشري.«

كيف يمكن لقطعة مستقيمة محدودة وصغيرة جداً أن تحتوي عدداً لانهائياً من الأرقام؟

إن مجموع متتالية لانهائية مثل 1 + 1\2 + 1\4 + 1\8 إلخ. يساوي 2. وهو عدد صغير ومحدود. ومع ذلك, فإن التقارب اللامتناهي بين عددين من هذه المتتالية يمكن أن يفسح مجالاً كما ذكرنا لعدد لامتناهي من الأرقام الحقيقية. فلو أخذنا شريطاً من القماش طوله متران. وضع علامة على منتصف طوله، أي على بعد متر من الطرف، وعلامة أخرى على منتصف المنتصف، أي على بعد نصف متر من العلامة السابقة، ثم علامة أخرى وهكذا دواليك. وهكذا يكون مجموع أطوال كافة قطع الشريط مساوية لمترين. يشبه ذلك معضلة أخيل، اليوناني الأصل، الذي كان يلاحق سلحفاة. فعلى الرغم من أنه كان يركض أسرع من السلحفاة، لكنه لم يكن يلحق بها كما كان يقول الفلاسفة: فهو يقطع نصف المسافة التي تفصله عن السلحفاة، ثم نصف المسافة التي تفصله عنها من جديد، إلخ.، وهكذا فإنه لا ينتهي أبداً إذ تبقى عليه مسافة ولو لامتناهية في الصغر عليه قطعها. لكن عالم الرياضيات يقول: »إنه يقطع كلاً من هذه المسافات بفترات زمنية أقل بمرتين من السابقة، وهكذا في النهاية سيلحق بالسلحفاة. لكن المسألة تصبح أكثر تعقيداً عندما نحاول إعطاءها بعداً فيزيائياً. فلو كنا ننقل كرية وفق المتوالية نفسها من صفيحة إلى أخرى فإن انتقالات الكرية تكون قد انتهت بعد ثانيتين. وستكون الكرية في إحدى الصفيحتين. والسؤال في أية صفيحة ستكون الكرية إن النقل اللانهائي السرعة يخرق قوانين النسبية لأينشتين ومبادئ الميكانيك الكمومي.« فالقول إن الكرية موجودة في هذه الصفيحة أو تلك يعني التأكيد بأنه يوجد عنصر أخير في المتتالية 1، 1\2، 1\4، إلخ. وبما أنه لا يوجد عنصر أخير، فإن السؤال غير صحيح، قال الرياضي مؤكداً.

«إن هذه المهام الفائقة التي تتلاعب بالخصائص المنتهية للانهاية لا تزال غامضة. كان الرياضي الإنكليزي جون ليتلوود John Littlewood (1885-1977) قد اخترع واحدة من هذه المسائل الأقل شهرة: ترقم كريات على الشكل 1، 2، 3، إلخ. وقبل دقيقة من منتصف الليل نضع الكريات من 1 إلى 10 في قبعة ونرفع منها الكرية 1. وقبل نصف دقيقة من منتصف الليل، نضع الـ 10 إلى 20 كرية في القبعة ونرفع منها الكرية 2. وقبل ثلث دقيقة من منتصف الليل نضع الكريات من 20 إلى 30 في القبعة ونرفع منها الكرية 3. وهكذا دواليك. فكم يكون لدينا من الكريات في القبعة في منتصف الليل؟ ولا كرية، يجيب ليتلوود، لأنه مهما كانت الكرية، فإن الكرية رقم 106 مثلاً كانت قد سُحبت في العملية 106e، أي 1\106e من الدقيقة قبل منتصف الليل.

هل يمكن بالتالي أن تحتوي اللانهايات بعضها بعضاً؟

هناك مثال طريف يعطى على اللانهاية. وهو مثال فندق يحوي عدداً لانهائياً من الغرف. ففي هذا الفندق يمكن إيواء عدد لامنته من الضيوف. وحتى إن جاء عدد لانهائي آخر فيمكن إيواؤه وذلك بنقل النزلاء من ذوي الغرف الفردية إلى غرف زوجية. وهكذا يمكن تفريغ عدد لانهائي من الغرف للقادمين الجدد. وهذا يعني أن هذا الفندق يتسع للانهاية مستمرة من القادمين الجدد. لقد اكتشف الرياضي الألماني جورج كانتور Georg Cantor (1845-1918) لانهايات أخرى أكبر أيضاً. إن لانهاية الفندق هي اللانهاية القابلة للعد: إذ يمكن ترقيم كل عنصر من المجموعة اللانهائية. أما لانهاية الأعداد الحقيقية، على سبيل المثال مواضع النقاط على قطعة مستقيمة، فهي لانهاية غير قابلة للعد، ولانهاية الأعداد الحقيقية أكبر من اللانهاية القابلة للعد. وأحد التناقضات الرياضية هو التالي: مهما كانت نقطة من قطعة مستقيمة فاصلتها كسرية (أي يمكن التعبير عنها بواسطة كسر)، توجد نقطة أخرى لانهائية القرب منها ذات فاصلة كسرية هي أيضاً. ويبدو أن النقاط ذات الفواصل الكسرية "تملأ" مجمل القطعة المستقيمة: ومع ذلك فهي أقل عدداً بلانهاية من المرات على هذه القطعة المستقيمة نفسها من النقاط ذات الفواصل غير الكسرية (مثل جذر الاثنين مثلاً). إن نقاط الفاصلة غير الكسرية هذه تشكل لانهاية أكبر. ويمكننا بناء لانهايات أكبر منها أيضاً، وهناك لانهاية اللانهايات، وهي بترتيب الحجم اللانهاية القابلة للعد، ولانهاية الاتصالية، ولانهاية التوابع. “ويمكننا اختراع، لكن لا أن نتمثل أنفسنا، لانهايات إلى ما وراء لانهاية التوابع"، هذا ما كان يقوله الفيزيائي الشهير الروسي الأمريكي جورج غاموف Georges Gamow (1904-1968).

المصدر : الجمعية الكونية السورية